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ちょっと高校の数学を思い出してみた。

◎ 毎年1月１日に10万円ずつ貯金していくと20年でいくらになるか。ただし、年利5%の複利とする。

１年後の貯金は 1.05×10万円。
２年後の貯金は 1.05×10万円＋1.05²×10万円
３年後の貯金は 1.05×10万円＋1.05²×10万円＋1.05³×10万円
…

ということは、
n年後の貯金S_n=10万円×（1.05 + 1.05² +...+ 1.05ⁿ）。
括弧の中身をAとすると
　A = 1.05 + 1.05² +...+ 1.05ⁿ
両辺に1.05を掛けると
　1.05×A = 1.05² +...+ 1.05ⁿ⁺¹
下の式から上の式の両辺をそれぞれ引くと
1.05×A - A = 1.05ⁿ⁺¹ - 1.05
Aについて解くと
A = (1.05ⁿ⁺¹ - 1.05)/(1.05 - 1)
（↑等比級数の和の求め方）

ということで
S₂₀ = 10万円×(1.05²⁰⁺¹ - 1.05)/(1.05 - 1）
= 約347万円(関数電卓で計算)

◎ これを応用して、n年後にS円貯蓄するには、毎年１月1日にいくらずつ貯金しなければならないか。ただし、年利 i %の複利とする。
毎年の貯金をM円として、上の式を一般化する。

n年後の貯金S_n = M×( (1+i/100)ⁿ⁺¹ - (1+i/100))/( (1+i/100) - 1）

∴ M = i/100×S_n/( (1+i/100)ⁿ⁺¹ - (1+i/100) )

　たとえば、金利5%のとき500万円を16年間でためるには、0.05×5000000/(1.05¹⁶⁺¹-1.05) = ほぼ201,285円。

この式は月単位の複利の場合でも計算できるので、月の利率を0.4%とすると、16年で500万円貯めるには、
0.004×5000000/(1.004^16×12+1-1.004) = ほぼ17,290円
毎月貯金すればよい。

（日本の銀行では月単位の複利になるのは外貨預金ぐらいかもしれませんが、イギリスでは月単位での複利になる貯蓄口座が普通にあります）

※数式が間違っていたらごめんなさい。
※1月1日はイギリスでもバンクホリデーなので銀行は開いてませんが、オンライン貯金はできます。:-)